Единая коллекция
Цифровых образовательных ресурсов

Карточка ресурса

Ресурс:
Аскольд Георгиевич Хованский - "Полиномы Лагранжа и их применения в математике" (N 32885)
Вид ЦОР:
Видеофрагмент
Поставщик ЦОР:
НОУ "Московский центр непрерывного математического образования"
Аннотация:
Профессор Независимого Московского Университета Аскольд Георгиевич Хованский
VI Летняя школа "СОВРЕМЕННАЯ МАТЕМАТИКА" (Дубна, 25 июля 2006 года)

Интерполяционный полином Лагранжа над полем вещественных чисел?R?? это полином стенепи n с вещественными коэффициентами, принимающий в n заданных вещественных точках (называемых узлами интерполирования) заданные вещественные значения. Аналогично определяется полином Лагранжа над произвольным полем K. Интерполяционные полиномы Лагранжа задаются простыми явными формулами. Они интенсивно используются в прикладной математике. Но у них есть и совсем другие применения. Полиномы Лагранжа помогают доказать следующие классические теоремы из чистой математики:
  1. Конечная коммутативная группа матриц над полем K приводится к диагональному виду (здесь дополнительно нужно требовать, чтобы поле K содержало все корни k-ой степени из единицы, где k?? порядок группы, и чтобы k не делилось на характеристику поля K).
  2. Алгебраическое уравнение степени <5 решается в радикалах.
  3. Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами решается в явном виде.
  4. Для любого полинома от одной переменной с рациональными коэффициентами явно решается следующая задача: определить, раскладывается ли полином на множители, являющиеся полиномами положительных степеней с рациональными коэффициентами, или нет; если ?да?, то найти его разложение на множители.
  5. Для достаточно общей системы из k полиномиальных уравнений степеней m1,... ,mk от k неизвестных справедлива формула Эйлера?Якоби: Σa∈A Q/J(a) =0. Здесь A?? множество корней системы, Q?? любой полином степени < m1+...+mk-k и J?? якобиан системы.

В цикле лекций будут объяснены все эти результаты. Мне понадобятся некоторые понятия (поле, его характеристика, линейное пространство, коммутативная группа матриц и т.д.), выходящие за рамки школьного курса. Но я надеюсь, что многое будет доступно школьникам. Я начну с явной формулы для полинома Лагранжа и с решения следующей задачи, обобщающей школьную теоремы Безу: найти остаток при делении многочлена (большой степени) на заданный многочлен (маленькой степени), корни которого известны.
Длительность воспроизведения:
75 минут (минуты:секунды)
Посмотреть ресурс >>
Количество просмотров: 2849
Вид карточки:
Краткий / Полный

Поддержка ресурса