Единая коллекция
Цифровых образовательных ресурсов

Видеозаписи лекций по математике

Найдено документов - 5
1. Владимир Игоревич Арнольд - "Динамическая система Ферма-Эйлера и статистика случайных точек на окружности"

Президент Московского математического общества академик РАН Владимир Игоревич Арнольд
Малый мехмат механико-математического факультета МГУ 14 Декабря 2002 года.

Динамическая система Ферма действует на множестве вычетов по модулю n как умножение на постоянную, взаимно простую с модулем (например, на?2 для нечётного?n).
Эйлер предложил ограничить эту динамику на множество вычетов, взаимно простых с?n, и это позволило ему обобщить малую теорему Ферма (утверждающую, что an-1= p mod n для любого простого?n и любого не делящегося на?n целого?a).
Удивительным свойством динамики Ферма-Эйлера является равенство периодов всех циклов этой динамической системы, являющейся перестановкой, диаграмма Юнга которой?? всегда прямоугольник.
Будет рассказано об удивительных свойствах этих прямоугольников, функции T(n), выражающей период динамики Ферма-Эйлера, и площади S(n) этого прямоугольника (которая растёт, как заметил Гаусс, в среднем как cn, где постоянная c=6/pi2=1/Z(2) есть вероятность взаимной простоты случайно взятых целых чисел, pi?? отношение длины окружности к её диаметру (pi ~ 3,1415), а Z(x)?? функция Римана).
В основном эти свойства открыты экспериментально, но некоторые из них уже доказаны (хотя недоказанных больше). Вот "физический" смысл некоторых из этих свойств.
Случайно выбранные T элементов m-элементного множества как правило различны, если T>b\√m, и как правило не все различны, если T>b√m ("задаче о днях рождения T человек" соответствует m=365).
Если бы случайной была орбита из T вычетов динамики Ферма-Эйлера, то рос бы период как квадратный корень из?n. Наблюдаемый линейный рост периода означает неслучайность, проявляющуюся в расталкиваниии элементов орбиты, не желающих иметь близких соседей в своей геометрической прогрессии вычетов.
Подобное расталкивание (измеряемое мерой хаотичности, характеризующей средние расстояния между соседними элементами) наблюдается не только для геометрических прогрессий, но и для распределения простых чисел (также выглядящего хаотическим, как и распределение вычетов геометрической прогрессии), и даже для распределения вычетов многих арифметических прогрессий.
Из недоказанных гипотез, рядом с которыми проходит это исследование, упомяну бесконечность множества простых чисел?q, для которых 2q+1 тоже простое. (Как, просты, например, 3 и?7, 5 и?11, 23 и?47.)


3. Райгородский Андрей Михайлович - Хроматические числа

Райгородский Андрей Михайлович Малый мехмат механико-математического факультета МГУ 7 Декабря 2002 года.

В сороковые годы XX века известными математиками П. Эрдёшом и Г. Хадвигером была поставлена одна из самых коротко формулируемых и в то же время одна из самых ярких и трудных задач комбинаторной геометрии - задача о нахождении хроматического числа H(Rn) евклидова пространства $\R^n$, то есть минимального числа цветов, в которые можно так раскрасить точки пространства, чтобы точки, отстоящие друг от друга на расстояние 1, оказались раскрашенными в разные цвета.
Эта задача до сих пор не решена даже для n=2, то есть для евклидовой плоскости, хотя простотой и естественностью своей постановки она сразу привлекла внимание всех математиков. К настоящему времени разработано много интересных и остроумных подходов к её - пока частичному - решению.
Кроме доказательств и формулировок многих теорем, на лекции будет рассказана история проблемы и некоторые нерешённые задачи, которые в будущем могли бы стать для кого-то из слушателей темами для исследований.


4. Рафаил Калманович Гордин - "Некоторые задачи планиметрии"

Заслуженный учитель РФ, неоднократный лауреат премий фонда Сороса, премий Мэра Москвы, Учитель математики МГПСШ Рафаил Калманович Гордин
Малый мехмат механико-математического факультета МГУ 23 Ноября 2002 года.

Будет рассказано о некоторых методах решения планиметрических задач: вспомогательные построения, площади, вспомогательная окружность, геометрические места точек, подсчёт углов, геометрические преобразования. В качестве примеров будут рассмотрены красивые (и не обязательно трудные) задачи, в разное время предлагавшиеся на математических олимпиадах, а также такие классические задачи, как задача Архимеда о вписанной в сегмент ломаной, задача Ферма о точке, сумма расстояний от которой до вершин треугольника минимальна, задача Фаньяно о треугольнике наименьшего периметра, вписанном в данный треугольник.


5. Сабир Меджидович Гусейн-Заде - "Разборчивая невеста"

Профессор кафедры высшей геометрии и топологии механико-математического факультета МГУ Сабир Меджидович Гусейн-Заде
Малый мехмат механико-математического факультета МГУ 30 Ноября 2002 года.

Примерно 40 лет тому назад М. Гарднер придумал такую задачу: " В некотором царстве, в некотором государстве пришло время принцессе выбирать себе жениха. В назначенный день явились 1000 царевичей и королевичей. Их построили в очередь в случайном порядке и стали по одному приглашать к принцессе. Про любых двух претендентов принцесса, познакомившись с ними, может сказать, какой из них лучше. Познакомившись с претендентом, принцесса может либо принять предложение (и тогда выбор сделан навсегда), либо отвергнуть его (и тогда претендент потерян: царевичи и королевичи гордые и не возвращаются). Какой стратегии должна придерживаться принцесса, чтобы с наибольшей вероятностью выбрать лучшего?"
В 1965 году её формулировку и решение рассказал на своём семинаре Е.Б. Дынкин. Но его метод был необобщаем на другие варианты задачи: например, когда целью является выбор не наилучшего, а одного из трёх лучших. В таком виде задача была решена лектором при помощи метода, который легко переносится и на ряд близких задач.
Так из полушуточной задачи вырос новый раздел математики - теория оптимальной остановки случайных процессов.


Всего документов: 5

Упорядочить по 


Поддержка ресурса