Единая коллекция
Цифровых образовательных ресурсов

Видеозаписи лекций по математике

Найдено документов - 30
3. Александр Александрович Разборов - "Квантовые вычисления" (лекция 1)

Александр Александрович Разборов
VI Летняя школа "СОВРЕМЕННАЯ МАТЕМАТИКА" (Дубна, 25 июля 2006 года)

Пожалуй ни одно другое достижение современной теории сложности вычислений не вызывает такого живого интереса и не менее яростных споров как модель квантовых вычислений. Предметом дискуссии, однако, в основном является возможность физической реализации квантового компьютера, чего мы, к счастью, касаться не будем. Вместо этого мы попробуем разобраться в чисто математических аспектах этой модели и, в частности, постараемся пройти столько из нижеследующего, сколько позволит время:

  1. Классические и квантовые схемы.
  2. Алгоритм Шора быстрого разложения чисел на множители: основные идеи.
  3. Квантовые оракулы и задача о скрытой подгруппе.
  4. Алгоритм квантового поиска Гровера: основные идеи.


4. Александр Александрович Разборов - "Квантовые вычисления" (лекция 2)

Александр Александрович Разборов
VI Летняя школа "СОВРЕМЕННАЯ МАТЕМАТИКА" (Дубна, 25 июля 2006 года)

Пожалуй ни одно другое достижение современной теории сложности вычислений не вызывает такого живого интереса и не менее яростных споров как модель квантовых вычислений. Предметом дискуссии, однако, в основном является возможность физической реализации квантового компьютера, чего мы, к счастью, касаться не будем. Вместо этого мы попробуем разобраться в чисто математических аспектах этой модели и, в частности, постараемся пройти столько из нижеследующего, сколько позволит время:

  1. Классические и квантовые схемы.
  2. Алгоритм Шора быстрого разложения чисел на множители: основные идеи.
  3. Квантовые оракулы и задача о скрытой подгруппе.
  4. Алгоритм квантового поиска Гровера: основные идеи.


5. Алексей Брониславович Сосинский - "Сингулярные мыльные плёнки"

Алексей Брониславович Сосинский
III Летняя школа "СОВРЕМЕННАЯ МАТЕМАТИКА" (Дубна, 24 июля 2003 года)

В лекции будут обсуждаться примеры сингулярных (особых) мыльных пленок, натянутых на проволочные контуры сложной формы (узлы, каркас куба и тетраэдра, и др.) Будут проводится демонстрирации соответсвующих экспериментов с проволоками и мыльным расстворам, и на киноэкране будут показаны фотографии и компьютерная графика изображений результатов (графика и фото М.Ю.Панова). Оказывается, что на пленках возникают только два тина особенностей -- так называемые "тройные линии" и "шестикрылые бабочки", удивительным образом совпадающие с особенностями "специальных спайнов" (играющих ключевую роль в работах С.Матвеева и его школы по классификации трехмерных многообразий). Цель лекции -- привлечь внимание слушателей к созданию (пока еще не существующей) математической теории сингулярных минимальных поверхностей.


6. Аскольд Георгиевич Хованский - "Полиномы Лагранжа и их применения в математике"

Профессор Независимого Московского Университета Аскольд Георгиевич Хованский
VI Летняя школа "СОВРЕМЕННАЯ МАТЕМАТИКА" (Дубна, 25 июля 2006 года)

Интерполяционный полином Лагранжа над полем вещественных чисел R — это полином стенепи n с вещественными коэффициентами, принимающий в n заданных вещественных точках (называемых узлами интерполирования) заданные вещественные значения. Аналогично определяется полином Лагранжа над произвольным полем K. Интерполяционные полиномы Лагранжа задаются простыми явными формулами. Они интенсивно используются в прикладной математике. Но у них есть и совсем другие применения. Полиномы Лагранжа помогают доказать следующие классические теоремы из чистой математики:

  1. Конечная коммутативная группа матриц над полем K приводится к диагональному виду (здесь дополнительно нужно требовать, чтобы поле K содержало все корни k-ой степени из единицы, где k — порядок группы, и чтобы k не делилось на характеристику поля K).
  2. Алгебраическое уравнение степени <5 решается в радикалах.
  3. Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами решается в явном виде.
  4. Для любого полинома от одной переменной с рациональными коэффициентами явно решается следующая задача: определить, раскладывается ли полином на множители, являющиеся полиномами положительных степеней с рациональными коэффициентами, или нет; если «да», то найти его разложение на множители.
  5. Для достаточно общей системы из k полиномиальных уравнений степеней m1,... ,mk от k неизвестных справедлива формула Эйлера–Якоби: Σa∈A Q/J(a) =0. Здесь A — множество корней системы, Q — любой полином степени < m1+...+mk-k и J — якобиан системы.

В цикле лекций будут объяснены все эти результаты. Мне понадобятся некоторые понятия (поле, его характеристика, линейное пространство, коммутативная группа матриц и т.д.), выходящие за рамки школьного курса. Но я надеюсь, что многое будет доступно школьникам. Я начну с явной формулы для полинома Лагранжа и с решения следующей задачи, обобщающей школьную теоремы Безу: найти остаток при делении многочлена (большой степени) на заданный многочлен (маленькой степени), корни которого известны.


8. Владимир Андреевич Успенский - "Четыре алгоритмических лица случайности"

Зав.кафедрой мехмата МГУ, профессор Владимир Андреевич Успенский
V Летняя школа "СОВРЕМЕННАЯ МАТЕМАТИКА" (Дубна, 23 июля 2005 года)

Составленная из нулей и единиц цепочка 100010111011110100000111 выглядит более случайной, чем цепочка 010101010101010101010101. Возможно ли разделить все цепочки нулей и единиц на случайный и не случайные? Для конечных цепочек эта задача вряд ли осуществима. Однако можно пытаться решать её для бесконечных цепочек, т.е. для последовательностей. Иными словами, можно пытаться найти строгое математическое определение для понятия "случайная последовательностей нулей и единиц".
Традиционная теория вероятностей не только не приближается к решению этой задачи, но даже не может её сформулировать в своих терминах. На помощь приходит теория алгоритмов. Может показаться парадоксальным, что понятие случайности уточняется на основе такого чуждого случайности понятия, как алгоритм, - тем не менее, это так: все известные до сих пор определения случайности индивидуального объекта (в нашем примере - индивидуальной последовательности нулей и единиц) опираются на понятие алгоритма.
Чтобы найти требуемое определение, поступают так. Формулируют некое характеристическое свойство, которым обладают случайные (в неформальном, интуитивном смысле) последовательности. А затем последовательности, обладающие этим свойством, и объявляют, по определению, случайными. Какими же свойствами обладает случайная последовательность нулей и единиц?

  1. Во-первых, она частотноустойчива. Вот что это означает для того простейшего случая, когда нули и единицы равновероятны - а только такой случай мы и будем рассматривать: частота нулей, как и частота единиц, стремится к одной второй. При этом указанная устойчивость частот выполняется не только для последовательности в целом, но и для любой её законной, разумной подпоследовательности.
  2. Во-вторых, она хаотична. Это означает, что чередование нулей и единиц не может быть описано никаким разумным правилом.
  3. В-третьих, она типична. Это означает, что она принадлежит любому разумному большинству.
  4. В-четвёртых, она непредсказуема. Это означает, что играя против неё на деньги (то есть пытаясь угадать члены последовательности и делая ставки), последовательность невозможно обыграть, какой бы разумной стратегией не пользоваться.
Слово "разумный", встречающееся в описаниях перечисленных четырёх свойств, разумеется, нуждается в уточнении. Теория алгоритмов как раз и предлагает такие уточнения, наполняя это слово точным смыслом - своим для каждого из наших четырёх свойств. Тем самым возникают четыре алгоритмических свойства: частотная устойчивость, хаотичность, типичность, непредсказуемость. Каждое из них представляет своё собственное алгоритмическое лицо случайности, и каждое из них с большими или меньшими основаниями может претендовать на роль строгого математического определения для понятия случайности. Можно сказать и так: возникают четыре точно очерченных класса последовательностей, каждый из которых претендует на то, чтобы служить истинным классом случайных последовательностей; некоторые из этих претензий более оправданы, чем другие.
Для понимания лекции требуются следующие знания:
  1. общие элементарные представления о множествах и функциях;
  2. понимание термина "алгоритм";
  3. для отдельного фрагмента лекции - понимание того, что такое сумма ряда с положительными членами.


9. Владимир Андреевич Успенский - "Четыре алгоритмических лица случайности"

Владимир Андреевич Успенский
V Летняя школа "СОВРЕМЕННАЯ МАТЕМАТИКА" (Дубна, 23 июля 2005 года)

Составленная из нулей и единиц цепочка 100010111011110100000111 выглядит более случайной, чем цепочка 010101010101010101010101. Возможно ли разделить все цепочки нулей и единиц на случайный и не случайные? Для конечных цепочек эта задача вряд ли осуществима. Однако можно пытаться решать её для бесконечных цепочек, т.е. для последовательностей. Иными словами, можно пытаться найти строгое математическое определение для понятия "случайная последовательностей нулей и единиц".

Традиционная теория вероятностей не только не приближается к решению этой задачи, но даже не может её сформулировать в своих терминах. На помощь приходит теория алгоритмов. Может показаться парадоксальным, что понятие случайности уточняется на основе такого чуждого случайности понятия, как алгоритм, — тем не менее, это так: все известные до сих пор определения случайности индивидуального объекта (в нашем примере — индивидуальной последовательности нулей и единиц) опираются на понятие алгоритма.

Чтобы найти требуемое определение, поступают так. Формулируют некое характеристическое свойство, которым обладают случайные (в неформальном, интуитивном смысле) последовательности. А затем последовательности, обладающие этим свойством, и объявляют, по определению, случайными.

Какими же свойствами обладает случайная последовательность нулей и единиц?

Во-первых, она частотноустойчива. Вот что это означает для того простейшего случая, когда нули и единицы равновероятны — а только такой случай мы и будем рассматривать: частота нулей, как и частота единиц, стремится к одной второй. При этом указанная устойчивость частот выполняется не только для последовательности в целом, но и для любой её законной, разумной подпоследовательности.

Во-вторых, она хаотична. Это означает, что чередование нулей и единиц не может быть описано никаким разумным правилом.

В-третьих, она типична. Это означает, что она принадлежит любому разумному большинству.

В-четвёртых, она непредсказуема. Это означает, что играя против неё на деньги (то есть пытаясь угадать члены последовательности и делая ставки), последовательность невозможно обыграть, какой бы разумной стратегией не пользоваться.

Слово "разумный", встречающееся в описаниях перечисленных четырёх свойств, разумеется, нуждается в уточнении. Теория алгоритмов как раз и предлагает такие уточнения, наполняя это слово точным смыслом --- своим для каждого из наших четырёх свойств. Тем самым возникают четыре алгоритмических свойства: частотная устойчивость, хаотичность, типичность, непредсказуемость. Каждое из них представляет своё собственное алгоритмическое лицо случайности, и каждое из них с большими или меньшими основаниями может претендовать на роль строгого математического определения для понятия случайности. Можно сказать и так: возникают четыре точно очерченных класса последовательностей, каждый из которых претендует на то, чтобы служить истинным классом случайных последовательностей; некоторые из этих претензий более оправданы, чем другие.

Для понимания лекции требуются следующие знания:

  1. общие элементарные представления о множествах и функциях;
  2. понимание термина "алгоритм";
  3. для отдельного фрагмента лекции — понимание того, что такое сумма ряда с положительными членами.


10. Владимир Игоревич Арнольд - "Динамическая система Ферма-Эйлера и статистика случайных точек на окружности"

Президент Московского математического общества академик РАН Владимир Игоревич Арнольд
Малый мехмат механико-математического факультета МГУ 14 Декабря 2002 года.

Динамическая система Ферма действует на множестве вычетов по модулю n как умножение на постоянную, взаимно простую с модулем (например, на 2 для нечётного n).
Эйлер предложил ограничить эту динамику на множество вычетов, взаимно простых с n, и это позволило ему обобщить малую теорему Ферма (утверждающую, что an-1= p mod n для любого простого n и любого не делящегося на n целого a).
Удивительным свойством динамики Ферма-Эйлера является равенство периодов всех циклов этой динамической системы, являющейся перестановкой, диаграмма Юнга которой — всегда прямоугольник.
Будет рассказано об удивительных свойствах этих прямоугольников, функции T(n), выражающей период динамики Ферма-Эйлера, и площади S(n) этого прямоугольника (которая растёт, как заметил Гаусс, в среднем как cn, где постоянная c=6/pi2=1/Z(2) есть вероятность взаимной простоты случайно взятых целых чисел, pi — отношение длины окружности к её диаметру (pi ~ 3,1415), а Z(x) — функция Римана).
В основном эти свойства открыты экспериментально, но некоторые из них уже доказаны (хотя недоказанных больше). Вот "физический" смысл некоторых из этих свойств.
Случайно выбранные T элементов m-элементного множества как правило различны, если T>b\√m, и как правило не все различны, если T>b√m ("задаче о днях рождения T человек" соответствует m=365).
Если бы случайной была орбита из T вычетов динамики Ферма-Эйлера, то рос бы период как квадратный корень из n. Наблюдаемый линейный рост периода означает неслучайность, проявляющуюся в расталкиваниии элементов орбиты, не желающих иметь близких соседей в своей геометрической прогрессии вычетов.
Подобное расталкивание (измеряемое мерой хаотичности, характеризующей средние расстояния между соседними элементами) наблюдается не только для геометрических прогрессий, но и для распределения простых чисел (также выглядящего хаотическим, как и распределение вычетов геометрической прогрессии), и даже для распределения вычетов многих арифметических прогрессий.
Из недоказанных гипотез, рядом с которыми проходит это исследование, упомяну бесконечность множества простых чисел q, для которых 2q+1 тоже простое. (Как, просты, например, 3 и 7, 5 и 11, 23 и 47.)


12. Владимир Игоревич Арнольд - "Статистика топологии и алгебры"

Президент Московского математического общества академик РАН Владимир Игоревич Арнольд
V Летняя школа "СОВРЕМЕННАЯ МАТЕМАТИКА" (Дубна, 26 июля 2005 года)

Пуанкаре делил все проблемы на два класса: бинарные и интересные. Бинарная проблема - это проблема, допускающая ответ "да" или "нет" (как, например, вопрос Ферма). А интересные проблемы - это те, в которых ответ "да" или "нет" недостаточен, в них нужно исследовать какой-либо вопрос, двигаясь вперед. Например, Пуанкаре интересовался, как можно изменить условия задачи (скажем, краевые условия для дифференциального уравнения), сохраняя существование и единственность решения, или как меняется число решений при других изменениях. Так он создал теорию бифуркаций. За три года до проблем Гильберта Пуанкаре сформулировал основные, по его мнению, математические проблемы, которые девятнадцатый век оставляет двадцатому. Это - создание математической базы квантовой и релятивистской физики. Сегодня некоторые думают, что релятивистской физики тогда, в 1897 году, ещё не было, так как Эйнштейн опубликовал свою теорию относительности в 1905 году. Но Пуанкаре сформулировал принцип относительности уже в своей статье 1895 года "Об измерении времени", которую Эйнштейн и использовал (о чем он, впрочем, не писал до 1945 года).


15. Владимир Игоревич Арнольд - "Тригонометрические многочлены Морса и шестнадцатая проблема Гильберта"

Президент Московского математического общества академик РАН Владимир Игоревич Арнольд
VI Летняя школа "СОВРЕМЕННАЯ МАТЕМАТИКА" (Дубна, 25 июля 2006 года)

Топологическая классификация вещественных многочленов, даже имеющих невырожденные критические точки и не кратные критические значения, неизвестна уже для многочленов степени 4 от двух переменных.
Гладкие функции на двумерной сфере с таким же числом критических точек и значений образуют 17746 топологических классов (когда критических значений 9). Но сколько из них реализуется многочленами степени 4, неизвестно (предположительно штук 200).
В лекциях будет обсуждаться в основном аналогичная классификация тригонометрических многочленов и функций Морса на двумерном торе. Здесь число классов функций оказывается бесконечным, а тригонометрическими многочленами (соответствующей степени) реализуется лишь конечное число классов.


Всего документов: 30

Показывать ресурсов на странице 

Упорядочить по 


Поддержка ресурса