Единая коллекция
Цифровых образовательных ресурсов

Тематический рубрикатор

Натуральные числа

Найдено документов - 156
1. Владимир Игоревич Арнольд - "Динамическая система Ферма-Эйлера и статистика случайных точек на окружности"

Президент Московского математического общества академик РАН Владимир Игоревич Арнольд
Малый мехмат механико-математического факультета МГУ 14 Декабря 2002 года.

Динамическая система Ферма действует на множестве вычетов по модулю n как умножение на постоянную, взаимно простую с модулем (например, на?2 для нечётного?n).
Эйлер предложил ограничить эту динамику на множество вычетов, взаимно простых с?n, и это позволило ему обобщить малую теорему Ферма (утверждающую, что an-1= p mod n для любого простого?n и любого не делящегося на?n целого?a).
Удивительным свойством динамики Ферма-Эйлера является равенство периодов всех циклов этой динамической системы, являющейся перестановкой, диаграмма Юнга которой?? всегда прямоугольник.
Будет рассказано об удивительных свойствах этих прямоугольников, функции T(n), выражающей период динамики Ферма-Эйлера, и площади S(n) этого прямоугольника (которая растёт, как заметил Гаусс, в среднем как cn, где постоянная c=6/pi2=1/Z(2) есть вероятность взаимной простоты случайно взятых целых чисел, pi?? отношение длины окружности к её диаметру (pi ~ 3,1415), а Z(x)?? функция Римана).
В основном эти свойства открыты экспериментально, но некоторые из них уже доказаны (хотя недоказанных больше). Вот "физический" смысл некоторых из этих свойств.
Случайно выбранные T элементов m-элементного множества как правило различны, если T>b\√m, и как правило не все различны, если T>b√m ("задаче о днях рождения T человек" соответствует m=365).
Если бы случайной была орбита из T вычетов динамики Ферма-Эйлера, то рос бы период как квадратный корень из?n. Наблюдаемый линейный рост периода означает неслучайность, проявляющуюся в расталкиваниии элементов орбиты, не желающих иметь близких соседей в своей геометрической прогрессии вычетов.
Подобное расталкивание (измеряемое мерой хаотичности, характеризующей средние расстояния между соседними элементами) наблюдается не только для геометрических прогрессий, но и для распределения простых чисел (также выглядящего хаотическим, как и распределение вычетов геометрической прогрессии), и даже для распределения вычетов многих арифметических прогрессий.
Из недоказанных гипотез, рядом с которыми проходит это исследование, упомяну бесконечность множества простых чисел?q, для которых 2q+1 тоже простое. (Как, просты, например, 3 и?7, 5 и?11, 23 и?47.)


Всего документов: 156

Показывать ресурсов на странице 

Упорядочить по 


Поддержка ресурса