Единая коллекция
Цифровых образовательных ресурсов

Тематический рубрикатор

Алгебра

Найдено документов - 2551
62. Арнольд В.И. - Динамика, статистика и проективная геометрия полей Галуа

В этой книге, являющейся записью прочитанной автором 13 ноября 2004 года лекции для школьников Малого мехмата МГУ, рассказано об удивительных недавно открытых связях алгебраической теории полей Галуа с теорией динамических систем, хаоса и статистики с одной стороны и с геометрией проективных структур на множествах из конечного числа точек - с другой. Большая часть этих новых открытий обнаружена экспериментальным путём, а возникшие при этом гипотезы во многих случаях ещё не доказаны, хотя и их понимание, и их эмпирическая проверка легко доступны школьникам, особенно владеющим компьютером. Ждут пытливых исследователей и многие теоретические вопросы - например, напрашивающийся вопрос о том, чем выделяется подгруппа проективных перестановок в полной группе всех перестановок конечного множества, каковы специальные геометрические свойства проективных перестановок дюжины точек, отличающие эти перестановки от непроективных.


65. Аскольд Георгиевич Хованский - "Полиномы Лагранжа и их применения в математике"

Профессор Независимого Московского Университета Аскольд Георгиевич Хованский
VI Летняя школа "СОВРЕМЕННАЯ МАТЕМАТИКА" (Дубна, 25 июля 2006 года)

Интерполяционный полином Лагранжа над полем вещественных чисел?R?? это полином стенепи n с вещественными коэффициентами, принимающий в n заданных вещественных точках (называемых узлами интерполирования) заданные вещественные значения. Аналогично определяется полином Лагранжа над произвольным полем K. Интерполяционные полиномы Лагранжа задаются простыми явными формулами. Они интенсивно используются в прикладной математике. Но у них есть и совсем другие применения. Полиномы Лагранжа помогают доказать следующие классические теоремы из чистой математики:

  1. Конечная коммутативная группа матриц над полем K приводится к диагональному виду (здесь дополнительно нужно требовать, чтобы поле K содержало все корни k-ой степени из единицы, где k?? порядок группы, и чтобы k не делилось на характеристику поля K).
  2. Алгебраическое уравнение степени <5 решается в радикалах.
  3. Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами решается в явном виде.
  4. Для любого полинома от одной переменной с рациональными коэффициентами явно решается следующая задача: определить, раскладывается ли полином на множители, являющиеся полиномами положительных степеней с рациональными коэффициентами, или нет; если ?да?, то найти его разложение на множители.
  5. Для достаточно общей системы из k полиномиальных уравнений степеней m1,... ,mk от k неизвестных справедлива формула Эйлера?Якоби: Σa∈A Q/J(a) =0. Здесь A?? множество корней системы, Q?? любой полином степени < m1+...+mk-k и J?? якобиан системы.

В цикле лекций будут объяснены все эти результаты. Мне понадобятся некоторые понятия (поле, его характеристика, линейное пространство, коммутативная группа матриц и т.д.), выходящие за рамки школьного курса. Но я надеюсь, что многое будет доступно школьникам. Я начну с явной формулы для полинома Лагранжа и с решения следующей задачи, обобщающей школьную теоремы Безу: найти остаток при делении многочлена (большой степени) на заданный многочлен (маленькой степени), корни которого известны.


Всего документов: 2551

Показывать ресурсов на странице 

Упорядочить по 


Поддержка ресурса