Единая коллекция
Цифровых образовательных ресурсов

Тематический рубрикатор

Многочлены

Найдено документов - 24
1. Аскольд Георгиевич Хованский - "Полиномы Лагранжа и их применения в математике"

Профессор Независимого Московского Университета Аскольд Георгиевич Хованский
VI Летняя школа "СОВРЕМЕННАЯ МАТЕМАТИКА" (Дубна, 25 июля 2006 года)

Интерполяционный полином Лагранжа над полем вещественных чисел?R?? это полином стенепи n с вещественными коэффициентами, принимающий в n заданных вещественных точках (называемых узлами интерполирования) заданные вещественные значения. Аналогично определяется полином Лагранжа над произвольным полем K. Интерполяционные полиномы Лагранжа задаются простыми явными формулами. Они интенсивно используются в прикладной математике. Но у них есть и совсем другие применения. Полиномы Лагранжа помогают доказать следующие классические теоремы из чистой математики:

  1. Конечная коммутативная группа матриц над полем K приводится к диагональному виду (здесь дополнительно нужно требовать, чтобы поле K содержало все корни k-ой степени из единицы, где k?? порядок группы, и чтобы k не делилось на характеристику поля K).
  2. Алгебраическое уравнение степени <5 решается в радикалах.
  3. Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами решается в явном виде.
  4. Для любого полинома от одной переменной с рациональными коэффициентами явно решается следующая задача: определить, раскладывается ли полином на множители, являющиеся полиномами положительных степеней с рациональными коэффициентами, или нет; если ?да?, то найти его разложение на множители.
  5. Для достаточно общей системы из k полиномиальных уравнений степеней m1,... ,mk от k неизвестных справедлива формула Эйлера?Якоби: Σa∈A Q/J(a) =0. Здесь A?? множество корней системы, Q?? любой полином степени < m1+...+mk-k и J?? якобиан системы.

В цикле лекций будут объяснены все эти результаты. Мне понадобятся некоторые понятия (поле, его характеристика, линейное пространство, коммутативная группа матриц и т.д.), выходящие за рамки школьного курса. Но я надеюсь, что многое будет доступно школьникам. Я начну с явной формулы для полинома Лагранжа и с решения следующей задачи, обобщающей школьную теоремы Безу: найти остаток при делении многочлена (большой степени) на заданный многочлен (маленькой степени), корни которого известны.


3. Владимир Игоревич Арнольд - "Тригонометрические многочлены Морса и шестнадцатая проблема Гильберта"

Президент Московского математического общества академик РАН Владимир Игоревич Арнольд
VI Летняя школа "СОВРЕМЕННАЯ МАТЕМАТИКА" (Дубна, 25 июля 2006 года)

Топологическая классификация вещественных многочленов, даже имеющих невырожденные критические точки и не кратные критические значения, неизвестна уже для многочленов степени 4 от двух переменных.
Гладкие функции на двумерной сфере с таким же числом критических точек и значений образуют 17746 топологических классов (когда критических значений 9). Но сколько из них реализуется многочленами степени 4, неизвестно (предположительно штук 200).
В лекциях будет обсуждаться в основном аналогичная классификация тригонометрических многочленов и функций Морса на двумерном торе. Здесь число классов функций оказывается бесконечным, а тригонометрическими многочленами (соответствующей степени) реализуется лишь конечное число классов.


Всего документов: 24

Показывать ресурсов на странице 

Упорядочить по 


Поддержка ресурса