Виета теорема

Пусть p(x) = xn+an-1xn-1+an-2xn-2+…+a1x+a0 — многочлен степени n с действительными или комплексными коэффициентами со старшим коэффициентом равным 1. Пусть также x1, x2, …, xn—все его (вообще говоря, комплексные) корни. Виета теорема утверждает, что

а0 = (-1)n x1x2 … xn

a1 = (-1)n-1 ( x1x2 … xn-1 + x1x2 … xn-2 xn + … + x2x3 … xn )

an-2 = x1x2 + x1x3 + … + xn-1xn

an-1 = - (x1 + x2 + … + xn)

Таким образом каждый коэффициент многочлена есть многочлен симметрический от его корней, умноженный на степень минус единицы.

Если p(x)—многочлен второй степени, p(x) = ax2+bx+c и x1, x2 — его  корни, то теорема Виета может быть записана в виде

x1+x2 = - b/a         и         x1x2 = c/a

Пусть теперь a,b и с — произвольные числа. Предположим, что найдутся два числа x1, x2 (вообще говоря, комплексных) таких, что два последних уравнения выполнены. Тогда существует многочлен второй степени с коэффициентами a,b и с у которого x1, x2 будут являться корнями. В школе это утверждение называется обратной теоремой Виета.