Объём тетраэдра

Из основной формулы для объёма тетраэдра

(1),

 

где S – площадь любой грани, а H – опущенная на нее высота, можно вывести еще целый ряд формул, выражающих объём через различные элементы тетраэдра. Приведем эти формулы для тетраэдра ABCD

(2) ,

где (AD,ABC) – угол между ребром AD и плоскостью грани ABC;

(3) ,

где (ABC,ABD) – угол между гранями ABC и ABD;

(4) ,

где |AB,CD| – расстояние между противоположными ребрами AB и CD, (AB,CD) – угол между этими ребрами.

 

Формулы (2)–(4) можно использовать для нахождения величин углов между прямыми и плоскостями; особенно полезна формула (4), с помощью которой можно находить расстояние между скрещивающимися прямыми AB иCD.

Формулы (2) и (3) аналогичны формуле S = (1/2)absin C для площади треугольника. Формуле S = rp аналогична формула

(5) ,

где r – радиус вписанной сферы тетраэдра, Σ – его полная поверхность (сумма площадей всех граней). Имеется и красивая формула, связывающая объём тетраэдра с радиусом R его описанной сферы (формула Крелле):

(6) ,

где Δ – площадь треугольника, стороны которого численно равны произведениям противоположных ребер (AB×CD, AC×BD,AD×BC). Из формулы (2) и теоремы косинусов для трехгранных углов (см. Сферическая тригонометрия) можно вывести формулу, аналогичную формуле Герона для треугольников:

(7) ,

где α, β, γ – плоские углы BDC, CDA, ADB при вершине D, δ = (α+β+γ)/2 – их полусумма.

Наконец, приведем векторную формулу:

(8) ,

где внутри модуля стоит смешанное произведение векторов. С помощью этой формулы можно вычислять объём тетраэдра, зная координаты его вершин.