Конечных приращений формула Лагранжа

Конечных приращений формула Лагранжа выражает связь между приращением любой непрерывной на отрезке [a; b] и дифференцируемой на интервале (а; b)  функции y = f(x) и значением ее производной:

где с – некоторое число из интервала (а; b): a < c < b.

Геометрический смысл формулы Лагранжа таков: на дуге графика данной функции, соединяющей точки (а; f(a)) и (b; f(b)), найдется точка ; f(c)) (и, возможно, не одна), в которой касательная к графику функции параллельна хорде, соединяющей концы дуги, – см. рис.

Часто формулу Лагранжа записывают в другой, эквивалентной форме:

где Θ – неизвестное число, зависящее, вообще говоря, от х0 и от Δх и удовлетворяющее неравенствам 0< Θ < 1.

Формула Лагранжа для функции многих переменных выглядит так:

где 0< Θ < 1.

С помощью формулы Лагранжа можно доказать следующее ее обобщение  – теорему Коши о среднем значении: если функции f и g непрерывны на отрезке [a; b] и дифференцируемы на интервале (а; b), причем g’(x) ≠ 0 на (а; b), то на интервале (а; b) существует такая точка с, что

В свою очередь, эта теорема позволяет легко доказать одно из важных соотношений теории пределов – правило Лопиталя.