Предел числовой последовательности

Пусть задана последовательность чисел {xn} = {x1; x2; ...; xn}(см. Последовательность). Число b называется пределом этой последовательности (последовательность сходится к числу b; последовательность стремится к числу b), если для любого числа найдется такой номер N, что все члены последовательности с номерами, большими, чем N, удовлетворяют неравенству |xnb| < e.

Геометрически этот факт означает, что в любой окрестности точки b лежат все члены последовательности, начиная с некоторого (с N+1-го по нашему определению), т.е. почти все, за исключением конечного числа (за исключением первых N членов).

Необходимое и достаточное условие сходимости последовательности дает критерий Коши: последовательность сходится тогда и только тогда, когда для любого числа e > 0 найдется такой номер N, что для любого натурального числа n > N и любого натурального числа р выполняется неравенство |xn+pxn | < e.

Если предел последовательности существует, то он единственен. Предел постоянной последовательности (т.е. последовательности {xn}, для которой при всех натуральных значениях n верно равенство хn = c) равен этой постоянной.

Если существуют пределы и то существуют и равны правым частям соответствующих формул следующие пределы:

Читать дальше...


Смотри также

  • Окрестность
  • Непрерывная функция