Дедекиндово сечение

Дедекиндово сечение (сечение Дедекинда) – один из аксиоматических методов введения иррациональных чисел, предложенный немецким математиком  Д. Дедекиндом в 1872 г.

Иррациональное число, по Дедекинду, определяется как разбиение множества рациональных чисел (сечение этого множества) на два класса, «верхний» и «нижний», удовлетворяющее условиям:

а) любое число из «верхнего» класса больше любого числа из «нижнего» класса;

б) в «верхнем» классе нет наименьшего числа, а в «нижнем» классе – наибольшего.

Далее в множестве таких чисел-разбиений вводятся понятия сложения, вычитания, умножения и деления.

Любое рациональное число х можно также истолковать как разбиение множества рациональных чисел на два класса, при этом числа, меньшие или равные числу х, относятся к одному классу, а остальные – большие числа х – ко второму.

Пример